Climbing Stairs

Climbing Stairs - LeetCodeLeetCode

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당신은 계단을 오르고 있습니다. 정상에 도달하려면 nnn 계단을 올라야 합니다.

한 번에 1계단 또는 2계단씩 오를 수 있을 때, 정상까지 도달하는 서로 다른 방법의 수는 몇 가지인가요?

1. 문제 분석

• 계단을 n 개의 계단을 올라야함.

• 한 번에 1계단 또는 2계단 오를 수 있음.

• 정상까지 도달하는 서로 다른 방법의 수 를 구해야 함.

2. 작은 경우부터 생각해 보기(패턴 찾기)

계단을 오르는 방법을 작은 숫자로 직접 세어보면 규칙이 보임.

예제 1: n = 1

• 방법: (1)

  • ⇒ 1가지 방법

예제 2: n = 2

• 방법: (1 + 1), (2)

  • ⇒ 2가지 방법

예제 3: n = 3

• 방법: (1+1+1), (1+2), (2+1) → 3가지 방법

예제 4: n = 4

• 방법:

  1. (1+1+1+1)

  2. (1+1+2)

  3. (1+2+1)

  4. (2+1+1)

  5. (2+2) → 5가지 방법

3. 점화식(재귀식) 찾기

각 숫자의 결과를 보면 일정한 패턴이 보임.

n	방법의 수
1	1
2	2
3	3
4	5
5	8
6	13

패턴 발경 :

• f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3

• f(4) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5

• f(5) = f(4) + f(3) = 5 + 3 = 8

⇒ 즉, 계단 n 개를 오르는 방법의 수는 다음과 같은 점화식을 따름

$f(n) = f(n-1) + f(n-2)$

• f(n-1) : 마지막에 1 계단 을 올랐을 때의 경우의 수

• f(n-2) : 마지막에 2 계단 을 올랐을 때의 경우의 수

이 점화식은 피보나치 수열 과 동일한 구조임

(단, 초기값 f(1) = 1, f(2) = 2 )

4. 왜 재귀로 풀 수 있는가?

• $f(n) = f(n-1) + f(n-2)$ 이므로, n 을 구하려면 먼저 n-1 과 n-2 를 계산해야함.

• $f(n-1)$ 을 구하려면 다시 $f(n-2)$ 와 $f(n-3)$ 이 필요하고, 계속 쪼개지게 됨.

• 따라서, 문제를 작은 문제 (n-1 , n-2 등)로 쪼개서 해결하는 "분할 정복(Divide & Conquer)" 형태가 됨.

재귀 호출 구조 예시(n = 5 일 때)

climbStairs(5)
├── climbStairs(4)
│   ├── climbStairs(3)
│   │   ├── climbStairs(2) → 2
│   │   ├── climbStairs(1) → 1
│   │   └── 결과: 3
│   ├── climbStairs(2) → 2
│   └── 결과: 5
├── climbStairs(3)
│   ├── climbStairs(2) → 2
│   ├── climbStairs(1) → 1
│   └── 결과: 3
└── 결과: 8

---

5. 재귀 코드

public class SlimbingStairs{
    public static int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
        return climbStairs(n-1) + climbStairs(n - 2);
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(climbStairs(5)); // result : 8
    }
}

---

6. 더 빠른 방법(DP)

반복문으로 O(n), O(1) 최적화

public class ClimbingStairs {
    public static int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) return 1;
        if (n == 2) return 2;
        
        int first = 1;
        int sencond = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int third = first + second;
            first = second;
            second = third;
        }
        return second;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(climbStairs(5)); // result : 8
    }
}